Question

9．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-5≤0}\\{2x+y-4≥0}\\{2x-2y+5≥0}\end{array}\right.$，则目标函数2x+y的最大值为10，目标函数4x²+y²的最小值为8．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线平移以及构造椭圆，利用直线和椭圆的相切关系即可求最值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-5=0}\\{2x-2y+5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（$\frac{5}{2}$，5），
代入目标函数z=2x+y得z=2×$\frac{5}{2}$+5=5+5=10．
即目标函数z=2x+y的最大值为10．
设4x²+y²=m，则m＞0，
即$\frac{{y}^{2}}{m}$+$\frac{{x}^{2}}{\frac{m}{4}}$=1，表示焦点在y轴的椭圆，
要使m最小，则只需要椭圆和直线BC：2x+y-4=0，相切即可，
由2x+y-4=0得y=-2x+4代入4x²+y²=m，得4x²+（-2x+4）²=m，
即8x²-16x+16-m=0，
则判别式△=16²-4×8（16-m）=0，
得8=16-m，
则m=8，即目标函数4x²+y²的最小值为8，
故答案为：10，8．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义，进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．