Question

19．如图所示，已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是1，表面积为$\frac{7}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三视图还原原几何体，该几何体是四棱锥，底面ABCD为直角梯形，BC=2AD=2，BC⊥DC，PA⊥平面ABCD，PA=1，CD=2．然后由体积公式及梯形和随机现象面积公式求解．

解答 解：由三视图还原原几何体如图：

该几何体是四棱锥，底面ABCD为直角梯形，BC=2AD=2，
BC⊥DC，PA⊥平面ABCD，PA=1，CD=2．
△PAB、△PAD、△PDC为直角三角形，△PBC为等腰三角形，可得PB=PC=$\sqrt{6}$．
PE为△PBC底边BC上的高，PE=$\sqrt{5}$．
∴该几何体的体积是$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×2×1=1$；
表面积为$\frac{1}{2}（1+2）×2+\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×\sqrt{5}×1$$+\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$$+\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\frac{7}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}+\sqrt{2}$．
故答案为：1；$\frac{7}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}+\sqrt{2}$．

点评 本题考查由三视图求几何体的体积与表面积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．