Question

3．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F，抛物线上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线的切线交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=$\frac{p}{2}$于点M，|FD|=2，∠AFD=60°．
（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
（2）求△DFM的面积．

Answer 1

分析 （1）利用导数求出切线方程，得出Q，D的坐标，计算|AF|，|FQ|即可得出|AF|=|FQ|，根据三角形性质得出|OF|=1，从而得出抛物线方程；
（2）根据直线斜率可得DF⊥AD，由∠DFM=30°求出DM，于是S_△DFM=$\frac{1}{2}DF•DM$．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），则切线l的方程为y=$\frac{{x}_{1}}{p}$x-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}$，且y₁=$\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}$，
∴D（$\frac{{x}_{1}}{2}$，0），Q（0，-y₁），
∴|FQ|=$\frac{p}{2}$+y₁，|AF|=$\frac{p}{2}$+y₁，∴|FQ|=|FA|，
∴△AFQ为等腰三角形，且D为AQ的中点，
∴DF⊥AQ，
∵|FD|=2，∠AFD=60°，
∴∠QFD=60°，∴OF=$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$FD=1，
∴p=2，
∴抛物线方程为x²=4y．
（2）F（0，1），k_AD=$\frac{{x}_{1}}{2}$，k_DF=$\frac{1}{-\frac{{x}_{1}}{2}}$=-$\frac{2}{{x}_{1}}$，
∴k_DF•k_AD=-1，∴DF⊥AD，
∵∠DFM=90°-∠QFD=30°，DF=2，
∴DM=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴S_△DFM=$\frac{1}{2}•DF•DM$=$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，切线方程，属于中档题．