Question

设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；②．
（1）若等比数列为 ()阶“期待数列”，求公比；
（2）若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为：
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若存在使，试问数列能否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）．（2）．（3）（ⅰ）利用前n项和进行放缩证明．（ⅱ）数列和数列不能为阶“期待数列”．

解析试题分析：（1）若，则由①=0，得，
由②得或．
若，由①得，，得，不可能．
综上所述，．
（2）设等差数列的公差为，>0．
∵，∴，
∴，
∵>0，由得，，
由题中的①、②得，
，
两式相减得，， ∴，
又，得，
∴．
（3）记，，…，中非负项和为，负项和为，
则，，得，，
（ⅰ），即．
（ⅱ）若存在使，由前面的证明过程知：
，，…，，，，…，，
且…．
记数列的前项和为，
则由（ⅰ）知，，
∴=，而，
∴，从而，，
又…，
则，
∴，
与不能同时成立，
所以，对于有穷数列，若存在使，则数列