已知数列,满足:.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若,且.
① 记,求证:数列为等差数列;
② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项应满足的条件.
(1)
(2)①根据等差数列的定义,证明相邻两项的差为定值来得到证明。从第二项起满足题意即可。
②当,数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次
解析试题分析:解:(1)当时,有
.
又也满足上式,所以数列的通项公式是. 4分
(2)①因为对任意的,有,所以,
,
所以,数列为等差数列. 8分
②设(其中为常数且,
所以,,
即数列均为以7为公差的等差数列. 10分
设.
(其中为中一个常数)
当时,对任意的,有; 12分
当时,.
(Ⅰ)若,则对任意的有,所以数列为递减数列;
(Ⅱ)若,则对任意的有,所以数列为递增数列.
综上所述,集合.
当时,数列中必有某数重复出现无数次;
当时,数列均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多出现一次,所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 18分
考点:数列的性质,数列的概念
点评:主要是考查了等差数列的概念和数列的单调性的运用,属于难度题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点在函数图象上,过点的切线的方向向量为(>0).
(Ⅰ)求数列的通项公式,并将化简;
(Ⅱ)设数列的前n项和为Sn,若≤Sn对任意正整数n均成立,求实数的范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”:
①;②.
(1)若等比数列为 ()阶“期待数列”,求公比;
(2)若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;
(3)记阶“期待数列”的前项和为:
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)若存在使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
对于无穷数列和函数,若,则称是数列的母函数.
(Ⅰ)定义在上的函数满足:对任意,都有,且;又数列满足:.
求证:(1)是数列的母函数;
(2)求数列的前项和.
(Ⅱ)已知是数列的母函数,且.若数列的前项和为,求证:.
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