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已知数列满足:
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若,且
① 记,求证:数列为等差数列;
② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项应满足的条件.

(1)
(2)①根据等差数列的定义,证明相邻两项的差为定值来得到证明。从第二项起满足题意即可。
②当,数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次

解析试题分析:解:(1)当时,有

也满足上式,所以数列的通项公式是.    4分
(2)①因为对任意的,有,所以,

所以,数列为等差数列.                    8分
②设(其中为常数且
所以,
即数列均为以7为公差的等差数列.               10分

(其中中一个常数)
时,对任意的,有;             12分
时,
(Ⅰ)若,则对任意的,所以数列为递减数列;
(Ⅱ)若,则对任意的,所以数列为递增数列.
综上所述,集合
时,数列中必有某数重复出现无数次;
时,数列均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多出现一次,所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.     18分
考点:数列的性质,数列的概念
点评:主要是考查了等差数列的概念和数列的单调性的运用,属于难度题。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知数列中,,若数列满足.
(Ⅰ)证明:数列是等差数列,并写出的通项公式;
(Ⅱ)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.

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已知点在函数图象上,过点的切线的方向向量为>0).
(Ⅰ)求数列的通项公式,并将化简;
(Ⅱ)设数列的前n项和为Sn,若≤Sn对任意正整数n均成立,求实数的范围.

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是等差数列,公差的前项和,已知.
(1)求数列的通项公式
(2)令=,求数列的前项之和.

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设满足以下两个条件的有穷数列阶“期待数列”:
;②
(1)若等比数列 ()阶“期待数列”,求公比
(2)若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;
(3)记阶“期待数列”的前项和为
(ⅰ)求证:
(ⅱ)若存在使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

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对于无穷数列和函数,若,则称是数列的母函数.
(Ⅰ)定义在上的函数满足:对任意,都有,且;又数列满足:.
求证:(1)是数列的母函数;
(2)求数列的前项.
(Ⅱ)已知是数列的母函数,且.若数列的前项和为,求证:.

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已知数列,a1=1,点在直线上.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求证:<1.

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已知数列{}满足=1,=,(1)计算的值;(2)归纳推测,并用数学归纳法证明你的推测.

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在数列中,,且.
(Ⅰ) 求,猜想的表达式,并加以证明;
(Ⅱ) 设,求证:对任意的自然数,都有

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