Question

2．若关于x的指数函数方程4^x-（a+3）•2^x+1=0
（1）有实数解，求实数a的取值范围；
（2）在区间（-1，3]上有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用分离参数，可得a+3=2^x+2^-x，由指数函数的值域和基本不等式，可得a的范围；
（2）由（1）可得a+3=2^x+2^-x，由指数函数的单调性，结合对号函数的单调性，可得2^x+2^-x的值域，由题意得到a的不等式，解得即可得到a的范围．

解答 解：（1）4^x-（a+3）•2^x+1=0即为
a+3=$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=2^x+2^-x，
由2^x＞0，可得2^x+2^-x≥2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=2，
当且仅当x=0时取得最小值2．
即有a+3≥2，即为a≥-1；
（2）由a+3=2^x+2^-x，
x∈（-1，3]，即有2^x∈（$\frac{1}{2}$，8]，
2^x+2^-x在（-1，0）递减，且2^x+2^-x∈（2，$\frac{5}{2}$），
在（0，3]递增，2^x+2^-x∈（2，$\frac{65}{8}$]，
由在区间（-1，3]上有且只有一个实数解，
则a+3=2或$\frac{5}{2}$≤a+3≤$\frac{65}{8}$，
解得a=-1或-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{41}{8}$．

点评 本题考查指数函数的单调性的运用，考查函数和方程的转化思想和对号函数的值域的运用，属于中档题．