Question

12．已知函数f（x）=2-3log₂x，g（x）=log₂x．
（1）若函数$F（x）=g（\frac{1-x}{1+x}）$，
①求F（x）的定义域，并判断F（x）的奇偶性；
②判断F（x）在其定义域内的单调性，并给出证明；
（2）求函数$M（x）=\frac{{f（x）+g（x）+|{f（x）-g（x）}|}}{2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）①由函数的解析式可得$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得-1＜x＜1，可得函数的定义域．由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
②令t（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$，设-1＜x₁＜x₂＜1，则有t（x₁）-t（x₂）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＞0，即t（x₁）＞t（x₂），可得函数t（x）在定义域（-1，1）上是减函数，进而根据复合函数的单调性，得到结论；
（2）由对数的运算性质可得函数$M（x）=\frac{{f（x）+g（x）+|{f（x）-g（x）}|}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}2-3{log}_{2}x，0＜x≤\sqrt{2}\\{log}_{2}x，x＞\sqrt{2}\end{array}\right.$，分析函数的单调性，进而可得函数的最小值．

解答 解：（1）①∵g（x）=log₂x．
∴函数$F（x）=g（\frac{1-x}{1+x}）$=log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
由$\frac{1-x}{1+x}$＞0得：x∈（-1，1），
故F（x）的定义域为（-1，1），
又由F（-x）=${log}_{2}\frac{1+x}{1-x}$=-${log}_{2}\frac{1-x}{1+x}$=-F（x），
故函数F（x）为奇函数，
②令t（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$，显然函数t（x）在定义域（-1，1）上是减函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
则有t（x₁）-t（x₂）=[-1+$\frac{2}{1+{x}_{1}}$]-[-1+$\frac{2}{1+{x}_{2}}$]=$\frac{2}{1+{x}_{1}}$-$\frac{2}{1+{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$．
由题设可得，（1+x₁）＞0，（1+x₂）＞0，2（x₂-x₁）＞0，
∴$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＞0，即t（x₁）＞t（x₂），
故函数t（x）在定义域（-1，1）上是减函数．
根据复合函数的单调性可得f（x）=lgt（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$ 在定义域（-1，1）上是减函数．
（2）∵函数f（x）=2-3log₂x，g（x）=log₂x．
∴函数$M（x）=\frac{{f（x）+g（x）+|{f（x）-g（x）}|}}{2}$=$\frac{2-2{log}_{2}x+|2-4{log}_{2}x|}{2}$=1-log₂x+|1-2log₂x|=$\left\{\begin{array}{l}2-3{log}_{2}x，0＜x≤\sqrt{2}\\{log}_{2}x，x＞\sqrt{2}\end{array}\right.$，
故M（x）在（0，$\sqrt{2}$]上为减函数，在（$\sqrt{2}$，+∞）上为增函数，
故当x=$\sqrt{2}$时，M（x）取最小值$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的定义和判断方法，函数的单调性的判断和证明，复合函数的单调性，属于中档题．