Question

13．已知a为如图所示的算法框图中输出的结果，则二项式${（x+\frac{a}{x^2}）^9}$的展开式中的常数项为（　　）

• A． 84
• B． -84
• C． 672
• D． -672

Answer 1

分析 通过读取框图求得a的值，代入二项式，写出二项展开式的通项，由x的指数等于0求得r值，则答案可求．

解答 解：a=2，i=1＜2015，执行$a=\frac{1}{1-2}=-1$，i=1+1=2；
i=2＜2015，执行$a=\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，i=2+1=3；
i=3＜2015，执行a=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$；
…
∴执行过程中a的值以3为周期周期出现，
∵2014=671×3+1，∴a=-1．
则${（x+\frac{a}{x^2}）^9}$=$（x-\frac{1}{{x}^{2}}）^{9}$．
由${T}_{r=1}={C}_{9}^{r}{x}^{9-r}•（-\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=$（-1）^{r}{C}_{9}^{r}•{x}^{9-3r}$．
令3-r=0，得r=3．
∴二项式${（x+\frac{a}{x^2}）^9}$的展开式中的常数项为$（-1）^{3}{C}_{9}^{3}=-84$．
故选：B．

点评 本题考查程序框图，考查了二项式系数的性质，正确读取框图是解答该题的关键，是基础的计算题．