Question

14．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的左、右焦点分别是F₁、F₂，Q是椭圆外的动点，满足|$\overrightarrow{{F_1}Q}$|=4．点P是线段F₁Q与该椭圆C₁的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足$\overrightarrow{PT}$•$\overrightarrow{T{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{T{F}_{2}}$|≠0．
（Ⅰ）求点T的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ） 过原点的直线l与曲线C₁，C₂分别交于点S，R（S，R不重合），
设△SF₁F₂，△RF₁F₂的面积分别为S₁，S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过连接PF₂、连接OT，利用椭圆定义可知|PF₂|=|PQ|，进而T为QF₂的中点，利用三角形中位线定理可知|OT|=2，进而可得结论；
（Ⅱ）对直线l的斜率存在性进行讨论，当直线l斜率存在时设直线l的方程为y=kx，并分别与椭圆、圆方程联立可知${x_S}^2=\frac{4}{{4{k^2}+1}}$、${x_T}^2=\frac{4}{{{k^2}+1}}$，利用三角形面积公式及相似三角形可知$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{|{x}_{S}|}{|{x}_{T}|}$，当直线l斜率不存在时易知$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{1}{2}$，进而计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）连接PF₂，连接OT，
∵|PF₁|+|PF₂|=4，|QF₁|=4，
∴|PF₂|=|PQ|，
∵PT⊥QF₂，
∴QT=TF₂，
∵|OF₁|=|OF₂|，
∴OT∥QF₁，
∴|OT|=2，
∴T的轨迹方程为：x²+y²=4；
（Ⅱ）①若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=kx，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$可得：${x_S}^2=\frac{4}{{4{k^2}+1}}$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x^2}+{y^2}=4}\end{array}}\right.$可得：${x_T}^2=\frac{4}{{{k^2}+1}}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{{|{OS}|}}{{|{OT}|}}=\frac{{|{x_S}|}}{{|{x_T}|}}=\sqrt{\frac{{1+{k^2}}}{{1+4{k^2}}}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{{4（1+4{k^2}）}}}$，
∵k≠0，∴$\frac{1}{2}＜\frac{S_1}{S_2}＜1$；
②若直线l斜率不存在时，易知$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{1}{2}$，
综上：$\frac{1}{2}≤\frac{S_1}{S_2}＜1$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．