【题目】已知平面上动点到点
的距离与到直线
的距离之比为
,记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设是曲线
上的动点,直线
的方程为
.
①设直线与圆
交于不同两点
,
,求
的取值范围;
②求与动直线恒相切的定椭圆
的方程;并探究:若
是曲线
:
上的动点,是否存在直线
:
恒相切的定曲线
?若存在,直接写出曲线
的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】分析:(1)设设,根据动点
到点
的距离与到直线
的距离之比为
,建立方程,即可求得曲线
的方程;(2)①先求出圆心到直线
的距离
,结合勾股定理可表示出
,再根据
及
,即可求得
的取值范围,从而可得
的取值范围;②取
,
,直线
的方程为
,取
,
时,直线
的方程为
,根据椭圆对称性,猜想
的方程为
与直线
相切,由此联立方程组,转化为恒成立,即可推出存在,若
是曲线
:
上的动点,结合以上结论可得与直线
相切的定曲线
的方程为
.
详解:(1)设,由题意,得
.
整理,得,所以曲线
的方程为
.
(2)①圆心到直线
的距离
∵直线于圆有两个不同交点,
∴
又∵
∴
由,得
.
又∵
∴
∴
因此,
,即
的取值范围为
.
②当,
时,直线
的方程为
;当
,
时,直线
的方程为
,根据椭圆对称性,猜想
的方程为
.
下证:直线与
相切,其中
,即
.
由消去
得:
,即
.
∴恒成立,从而直线
与椭圆
:
恒相切.
若点是曲线
:
上的动点,则直线
:
与定曲线
:
恒相切.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
。
Ⅰ.求函数的最小正周期和单调递增区间;
Ⅱ.当时,方程
恰有两个不同的实数根,求实数
的取值范围;
Ⅲ.将函数的图象向右平移
个单位后所得函数
的图象关于原点中心对称,求
的最小值。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】世界那么大,我想去看看,处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某大学的名学生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 |
(Ⅰ)求所得样本的中位数(精确到百元);
(Ⅱ)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布
,若该所大学共有学生
人,试估计有多少位同学旅游费用支出在
元以上;
(Ⅲ)已知样本数据中旅游费用支出在范围内的
名学生中有
名女生,
名男生,现想选其中
名学生回访,记选出的男生人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:若,则
,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知为圆
上一动点,圆心
关于
轴的对称点为
,点
分别是线段
上的点,且
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)直线与点
的轨迹
只有一个公共点
,且点
在第二象限,过坐标原点
且与
垂直的直线
与圆
相交于
两点,求
面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
(
)的左焦点为
,左准线方程为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线交椭圆
于
,
两点.
①若直线经过椭圆
的左焦点
,交
轴于点
,且满足
,
.求证:
为定值;
②若(
为原点),求
面积的取值范围.
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