【题目】如图,已知四边形和
均为平行四边形,点
在平面
内的射影恰好为点
,以
为直径的圆经过点
,
,
的中点为
,
的中点为
,且
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析: (Ⅰ)推导出平面
,从而平面
平面
,从而
,再求出
,从而
平面
,由此能证明平面
平面
.(Ⅱ)以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角
的余弦值.
试题解析:
(Ⅰ)∵点在平面
内的射影恰好为点
,∴
平面
,
又平面
,∴平面
平面
.
又以为直径的圆经过点
,
,
,∴
为正方形.
又平面平面
,∴
平面
.
∵平面
,
,
又,∴
,
又的中点为
,∴
,
∵,∴
,
又平面
,
平面
,
,∴
平面
.
又平面
,∴平面
平面
.
(Ⅱ)如图,建立以为原点,
的方向为
轴的正方向,
的方向为
轴的正方向,
的方向为
轴的正方向的空间直角坐标系,
设,则
,
,
,
.
∵的中点为
,∴
,
故,
,
设平面的法向量为
,则
∴
令,则
.
易知平面的一个法向量为
,
设二面角为
,
∴,
容易看出二面角为锐角,故二面角
的余弦值为
.
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【题目】在下列命题中,
①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是;
②的展开式中的常数项为2;
③设随机变量,若
,则
.
其中所有正确命题的序号是( )
A.②B.①③
C.②③D.①②③
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【题目】已知数列满足
(
,且
),且
,设
,
,数列
满足
.
(1)求证:数列是等比数列并求出数列
的通项公式;
(2)求数列的前n项和
;
(3)对于任意,
,
恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】棋盘上标有第0、1、2...100站,棋子开始位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子位于第n站的概率为,设
.则下列结论正确的有( )
①;
;
②数列(
)是公比为
的等比数列;
③;
④.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】在中,两直角边AB,AC的长分别为m,n(其中
),以BC的中点O为圆心,作半径为r(
)的圆O.
(1)若圆O与的三边共有4个交点,求r的取值范围;
(2)设圆O与边BC交于P,Q两点;当r变化时,甲乙两位同学均证明出为定值甲同学的方法为:连接AP,AQ,AO,利用两个小三角形中的余弦定理来推导;乙同学的方法为;以O为原点建立合适的直角坐标系,利用坐标法来计算.请在甲乙两位同学的方法中选择一种来证明该结论,定值用含m、n的式子表示.(若用两种方法,按第一种方法给分)
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【题目】如图,圆,点
,以线段
为直径的圆
与圆
内切于点
,记动点
的轨迹为
.
(1)求曲线的方程;
(2)设,
是曲线
上位于直线
两侧的两动点,当
运动时,始终满足
,试求
的最大值.
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【题目】已知平面直角坐标系中,过点
的直线l的参数方程为
(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
与曲线C相交于不同的两点M,N.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若,求实数a的值.
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