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    【题目】如图,圆,点,以线段为直径的圆与圆内切于点,记动点的轨迹为.

    （1）求曲线的方程;

    （2）设,是曲线上位于直线两侧的两动点,当运动时,始终满足,试求的最大值.

    【答案】（1）；（2）

    【解析】

    （1）连接,则过点,取关于轴的对称点,连接,则,

    ,可得点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆,即可求得答案;

    （2）不妨设的方程为:,代入得:,根据韦达定理,结合已知条件,即可求得答案.

    （1）连接,则过点M,取关于y轴的对称点,连接,

    则,

    又

    点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆.其中,

    曲线的方程为

    （2）不妨设的方程为:,代入

    得:,

    设,

    点在椭圆上,

    ,

    由,得,

    把上式以代,

    可得.

    直线的斜率,

    设直线的方程为.代入

    得:,

    ,

    由得,

    由弦长公式得

    (当时取等号)

    线段长度的最大值为.

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    （2）设数列的前n项和为，求的最大值.

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