Question

6．在△ABC中，a，b，c是其三个内角A，B，C的对边，且a≥b，sin2A+$\sqrt{3}$cos2A=2sin2B．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{3}$，sinA=$\frac{1}{3}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简已知等式可得sin（2A+$\frac{π}{3}$）=sin2B，结合三角形内角和定理及大边对大角即可求得角C的大小．
（2）由（1）可求sinC，cosC，由sinA=$\frac{1}{3}$，且A为锐角，可求cosA，由正弦定理可求a=$\frac{c•sinA}{sinC}$的值，从而由三角形面积公式即可求解．

解答 （本题满分12分）
解：（1）∵sin2a+$\sqrt{3}$cos2A=2sin2B，
∴2（$\frac{1}{2}$sin2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A）=2sin2B，
∴2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=2sin2B，
∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=sin2B，…3分
∴2A+$\frac{π}{3}$=2B，或2A+$\frac{π}{3}$=π-2B，
由a≥b，知A≥B，所以2A+$\frac{π}{3}$=2B不可能成立，
∴2A+$\frac{π}{3}$=π-2B，即A+B=$\frac{π}{3}$，…5分
∴C=$π-\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}$…6分
（2）由（1）可得 C=$\frac{2π}{3}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosC=-$\frac{1}{2}$，
∵sinA=$\frac{1}{3}$，且A为锐角，∴cosA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$…8分
由正弦定理，a=$\frac{c•sinA}{sinC}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\sqrt{3}sin（A+C）$，…10分
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（sinAcosC+cosAsinC）=$\frac{\sqrt{3}}{3}[\frac{1}{3}×（-\frac{1}{2}）+\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}]$=$\frac{6\sqrt{2}-\sqrt{3}}{18}$…12分．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换等知识的综合应用，属于基本知识的考查．