Question

16．已知函数$f（x）=|{x+\frac{a}{x}}|，（{x＞0}），a$为实数．
（1）当a=-1时，判断函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=|x-$\frac{1}{x}$|=x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上单调递增，利用f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0可得；
（2）a≤0时，x=$\sqrt{-a}$时，函数取得最小值0；a＞0时，f（x）=x+$\frac{a}{x}$时，利用基本不等式求出y=f（x）的最小值为2$\sqrt{a}$．

解答 解：（1）f（x）=|x-$\frac{1}{x}$|=x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上单调递增．
∵f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴y=f（x）在（1，+∞）上在（1，+∞）上单调递增；
（2）a＜0时，x=$\sqrt{-a}$时，函数取得最小值0；a=0时函数无最小值；
a＞0时，f（x）=x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，当且仅当x=$\sqrt{a}$时，y=f（x）的最小值为2$\sqrt{a}$．

点评 本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．