Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，∠ACB=90°，D是AA₁的中点．
（1）求证：C₁D⊥面A₁ABB₁；
（2）求二面角D-C₁B-C的大小的余弦值；
（3）求直线AC与平面BDC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得C₁D⊥A₁B₁，C₁D⊥AA₁，由此能证明C₁D⊥面A₁ABB₁．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-C₁B-C的余弦值．
（3）利用向量法能求出直线AC与平面BDC₁所成角的余弦值．

解答： （1）证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，D是AA₁的中点，
∴C₁D⊥A₁B₁，C₁D⊥AA₁，
∵A₁B₁∩AA₁=A₁，
∴C₁D⊥面A₁ABB₁．
（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得A₁（2，0，2），B（0，2，0），B₁（0，2，2），
D（1，1，2），C₁（0，0，2），

BD

=（1，-1，2），

BC1

=（0，-2，2），
设平面BDC₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BD =x-y+2z=0 n • BC1 =-2y+2z=0

，取y=1，得

n

=（-1，1，1），
由题意平面BCC₁的法向量

m

=（1，0，0），
设二面角D-C₁B-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

-1

3

|=

3

3

，
∴二面角D-C₁B-C的余弦值为

3

3

．
（3）解：

CA

=（2，0，0），平面BDC₁的法向量

n

=（-1，1，1），
设直线AC与平面BDC₁所成角为α，
sinα=|cos＜

CA

，

n

＞|=|

-2

2 3

|=

3

3

，
∴cosα=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴直线AC与平面BDC₁所成角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查C₁D⊥面A₁ABB₁的证明，考查二面角D-C₁B-C的余弦值的求法，考查直线AC与平面BDC₁所成角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．