Question

（2012•福建）已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正确结论的序号是（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：根据f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．

解答：解：求导函数可得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．
∴a＜1＜b＜3＜c
设f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+ac+bc）x-abc
∵f（x）=x³-6x²+9x-abc
∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9
∴b+c=6-a
∴bc=9-a（6-a）＜(

6-a

2

)2
∴a²-4a＜0
∴0＜a＜4
∴0＜a＜1＜b＜3＜c
∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0
故选C．

点评：本题考查函数的零点、极值点，考查解不等式，综合性强，确定a、b、c的大小关系是关键．