Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是矩形，面面，且是边长为2的等边三角形， ， 在上，且面

（1）求证： 是的中点；

（2）求直线与所成角的正切值；

（3）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) (3)

【解析】试题分析：（1）连接AC交BD于E，连接ME，可得PA∥面MBD，且ME是平面PAC与平面MDB的交线，得PA∥ME，即M是PC的中点；

（2）取AD中点，由（1）知OA、OE、OP两两垂直，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所成角的余弦值，得到正弦值，进一步得到直线PA与MB所成角的正切值；

（3）设在PA上是否存在点F，使二面角F﹣BD﹣M为直角，且，则由，得F（1﹣λ，0， ），分别求出平面MBD与平面FBD的一个法向量，由两法向量垂直求得λ值，可得存在点F，使二面角F﹣BD﹣M为直角，此时．

试题解析：

（1）证明：连交于，连.∵是矩形，∴是中点.又面，且是面与面的交线，∴，∴是的中点.

（2）取中点，由（1）， ， 两两垂直.以为原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为

， ， ， ， ， .

（3）设存在满足要求，且，则由得，

平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为， ，得，解得，故存在，使二面角为直角，此时.