Question

2．（1）若a＞b＞0，求证：$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞$\frac{a-b}{a+b}$；
（2）若a＞0，b＜0，且a+b=1，求$\frac{4}{a}+\frac{a}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用分析法证明即可；
（2）灵活利用“1”，根据基本不等式即可求出答案．

解答 证明：（1）a＞b＞0，
要证：$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞$\frac{a-b}{a+b}$，
只要证$\frac{a+b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞$\frac{1}{a+b}$，
只要证（a+b）²＞a²+b²，
只要证2ab＞0，显然成立，
故$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞$\frac{a-b}{a+b}$，
解：（2）∵a+b=1，
∴$\frac{4}{a}+\frac{a}{b}$=$\frac{4（a+b）}{a}$+$\frac{a}{b}$=4+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$=8，当且仅当a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$时取等号，
∴$\frac{4}{a}+\frac{a}{b}$的最小值8．

点评 本题考查了分析法证明不等式和基本不等式的应用，属于中档题