Question

已知F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆上的点到焦点距离的最大值为2+

3

，最小值为2-

3

．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l过点Q(

1

2

，

1

2

)，与椭圆交于点M，N，且点Q为线段MN的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆上的点到焦点距离的最大值为2+

3

，最小值为2-

3

，可得

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，从而可求椭圆方程；
（2）利用点差法．设点代入椭圆方程，作差，利用Q(

1

2

，

1

2

)为线段MN的中点，可求直线l的斜率，进而可求直线l的方程．

解答：解：（1）∵椭圆上的点到焦点距离的最大值为2+

3

，最小值为2-

3

．
∴

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

∴a=2，c=

3

∵b²=a²-c²
∴b=1
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x 2 1 a2 + y 2 1 b2 =1 x 2 2 a2 + y 2 2 b2 =1

两式相减可得

(x1 +x2)(x1-x2)

a2

+

(y1 +y2)(y1-y2)

b2

=0
∵Q(

1

2

，

1

2

)为线段MN的中点
∴

x1-x2

a2

+

y1-y2

b2

=0
∴

y1-y2

x1 -x2

=-

b2

a2

=-

1

4

∵直线l过点Q(

1

2

，

1

2

)，
∴直线l方程为：y-

1

2

=-

1

4

(x-

1

2

)
即2x+8y-5=0
由于点Q在椭圆内，故方程满足题意．

点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查弦中点问题，利用点差法设而不求是关键．