Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）

A.抛物线的方程是B.抛物线的准线是

C.的最小值是D.线段AB的最小值是6

Answer 1

【答案】BC

【解析】

求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p，进而得到抛物线方程和准线方程；求得，设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB的最小值，可得圆Q的半径，由中点坐标公式可得Q的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求的最小值.

抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，

点到焦点的距离等于3，可得，解得，

则抛物线的方程为，准线为，故A错误，B正确；

由题知直线的斜率存在，，

设，，直线的方程为，

由，消去得，

所以，，

所以，所以AB的中点Q的坐标为，

，故线段AB的最小值是4，即D错误；

所以圆Q的半径为，

在等腰中，，

当且仅当时取等号，

所以的最小值为，即C正确，

故选：BC.