Question

9．在△ABC中，已知c=8，C=60°，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 由正弦定理用sinA、sinB表示出a、b，由内角和定理求出A与B的关系式，代入a+b利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+b的取值范围．

解答 解：∵c=8，C=60°，∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
则a=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$sinB，
由A+B+C=π得A+B=$\frac{2π}{3}$，即B=$\frac{2π}{3}$-A，则0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴a+b=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinB）=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]
=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$（sinA+sin$\frac{2π}{3}$cosA-cos$\frac{2π}{3}$sinA）
=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）=16$sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
则$\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，
即$8＜16sin（A+\frac{π}{6}）≤16$，
∴a+b的取值范围是（8，16]．

点评 本题考查了正弦定理的应用，两角和差的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，属于中档题．