Question

1．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先求出底面ABCD的面积，由四棱锥S-ABCD的体积V_S-ABCD=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形ABCD}×SA$，能求出结果．
（2）以A为原点，AD、AB、AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）∵在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，
侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1，
∴${S}_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}（1+2）×2$=3，
∴四棱锥S-ABCD的体积V_S-ABCD=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×3×2$=2．
（2）如图，以A为原点，AD、AB、AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），
平面SAB的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，0，0），
又$\overrightarrow{SC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{SD}$=（1，0，-2），
设平面SCD的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，-1，1），
设面SCD与面SAB所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴面SCD与面SAB所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…12'

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，考查面SCD与面SAB所成二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．