Question

13．如图为某四面体的三视图，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为4的正方形，则该四面体的内切球的半径为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．棱长为4$\sqrt{2}$，利用等体积即可得出该四面体的内切球的半径．

解答 解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，棱长为4$\sqrt{2}$，正四面体的高为$\sqrt{32-（\frac{4\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×32$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
设该四面体的内切球的半径为r，则4×$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×32$×r=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×32$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
∴r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了三棱锥的三视图、正方体与内切球的性质，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题．