Question

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，3（b²+c²）=3a²+2bc．
（1）若sinB=$\sqrt{2}$cosC，求tanC；
（2）若△ABC的面积S=5$\sqrt{2}$，求边长a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，进而确定出sinA的值，根据sinB=$\sqrt{2}$cosC，B=π-（A+C），求出tanC的值即可；
（2）利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积与sinA的值代入求出bc的值，已知等式变形，利用基本不等式求出a的最小值即可．

解答 解：（1）∵3（b²+c²）=3a²+2bc，即b²+c²-a²=$\frac{2}{3}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$，
又A为三角形内角，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵sinB=$\sqrt{2}$cosC，∴sin（A+C）=$\sqrt{2}$cosC，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosC+$\frac{1}{3}$sinC=$\sqrt{2}$cosC，即sinC=$\sqrt{2}$cosC，
∴tanC=$\sqrt{2}$；
（2）∵S=5$\sqrt{2}$，∴$\frac{1}{2}$bcsinA=5$\sqrt{2}$，
∵sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴bc=15，
∵b²+c²≥2bc，b²+c²=a²+$\frac{2}{3}$bc，
∴a²≥2bc-$\frac{2}{3}$bc=$\frac{4}{3}$bc=20，
∴a≥2$\sqrt{5}$，
则a的最小值为2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．