Question

15．已知点A（-5，0），B（-1，-3），若圆x²+y²=r²（r＞0）上共有四个点M，N，P，Q，使得△MAB、△NAB、△PAB、△QAB的面积均为5，则r的取值范围是（5，+∞）．

Answer 1

分析 先求得|AB|=5，再根据题意可得点M，N，P，Q到直线AB的距离为2，AB的方程为3x+4y+15=0，利用圆上有4个点到直线AB的距离为2时，r应满足的条件是圆心到直线AB的距离d＜r-2，从而求得r的取值范围．

解答 解：由题意可得|AB|=$\sqrt{{（-1+5）}^{2}{+（-3-0）}^{2}}$=5，
根据△MAB和△NAB、△PAB、△QAB的面积均为5，
可得点M，N，P，Q到直线AB的距离为2；
由于AB的方程为$\frac{y-0}{-3-0}$=$\frac{x+5}{-1+5}$，即3x+4y+15=0，
且圆上有四个点到直线AB的距离为2，
所以圆心（0，0）到直线AB的距离$\frac{|0+0+15|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$＜r-2，解得r＞5；
所以r的取值范围是（5，+∞）．
故答案为：（5，+∞）．

点评 本题主要考查了直线和圆的位置关系与点到直线的距离公式的应用问题，是综合性题目．