Question

17．已知命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q：$f（x）=lg[m{x^2}-（m+4）x+\frac{9}{2}]$的定义域为R，
试判断p是q的什么条件，并说明理由．

Answer 1

分析 由命题p，得$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0}\end{array}\right.$；由命题q，得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=[-（m+4）]^{2}-4m×\frac{9}{2}＜0}\end{array}\right.$．由此得到p是q的必要不充分条件．

解答 解：∵命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的负实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞2，
即p：m＞2，
∵命题q：$f（x）=lg[m{x^2}-（m+4）x+\frac{9}{2}]$的定义域为R，
∴$m{x}^{2}-（m+4）x+\frac{9}{2}$＞0的解集为R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=[-（m+4）]^{2}-4m×\frac{9}{2}＜0}\end{array}\right.$，解得2＜m＜8，
即q：2＜m＜8，
p推不出q，q⇒p，
∴p是q的必要不充分条件．

点评 本题考查充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、不充分不必要条件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意一元二次方程、对数函数的性质的合理运用．