Question

2．已知$\overrightarrow{a}=（\sqrt{3}sinx，cosx）$，$\overrightarrow{b}$=（cosx，-cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C对边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若sinB=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知向量的坐标结合数量积的坐标运算及两角差的正弦可得f（x）的解析式，然后利用正弦函数的性质求得f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）利用sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，结合范围0＜C＜π，利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值可求C的值，由已知结合正弦定理，余弦定理可求a，b的值，进而利用三角形面积公式即可计算求值得解．

解答 （本题满分10分）
解：（Ⅰ）由题意得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，…（3分）
则f（x）的最小值是-2，
最小正周期是T=$\frac{2π}{2}=π$；…（5分）
（Ⅱ）f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，则sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，
∴0＜2C＜2π，
∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：C=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinA，由正弦定理，得$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，①…（8分）
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab=3，②
由①②解得a=1，b=2．           
 故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（10分）

点评 本题主要考查了平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的图象和性质，还考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．