Question

12．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，点E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）求线段MG的长．

Answer 1

分析 （1）由EF为圆的切线得∠EFG=∠BAF，由垂直关系可知点A、M、G、F四点共圆，从而得∠FGE=∠BAF，所以∠EFG=∠FGE
（2）由已知及切线长定理可得，EF=EG=4$\sqrt{3}$，从而MG=EM-EG=8-4$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，
∴∠FGE=∠BAF，
∵EF⊥OF，
∴∠EFG=∠FGE，
∴EF=EG，
（2）由AB=10，CD=8可得OM=3，
∴ED=$\frac{4}{3}$OM=4，EF²=ED•EC=48，EF=EG=4$\sqrt{3}$，
连接AD，则∠BAD=∠BFD，
∴MG=EM-EG═8-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查几何证明，关键是掌握切线长定理，以及圆的切线的性质．属于中档题．