Question

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知侧棱AA₁⊥底面ABC，且AB=AC=5，BC=6，AA₁=9，D为BC的中点，F为C₁C上的动点．
（1）若CF=6，求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）若FD⊥B₁D，求三棱锥B₁-ADF的体积．

Answer 1

分析 （1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，通过证明AD⊥平面BCC₁B₁得AD⊥B₁F，然后在矩形BCC₁B₁中通过证明Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁得B₁F⊥FD，问题从而得证．
（2）利用等体积法，将要求的三棱锥B₁-ADF的体积转化为高和底面都已知的三棱锥A-B₁DF的体积来求．

解答 （1）证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，
又直三棱柱中：BB₁⊥底面ABC，AD?底面ABC，
∴AD⊥BB₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵B₁F?平面BCC₁B₁
∴AD⊥B₁F．
在矩形BCC₁B₁中：C₁F=CD=3，CF=C₁B₁=6
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁，
∴∠CFD=∠C₁B₁F
∴∠B₁FD=90°，即B₁F⊥FD，
∵AD∩FD=D，
∴B₁F⊥平面AFD；
（2）解：∵FD⊥B₁D，BC=6，AA₁=9，D为BC的中点，
∴CF=1，C₁F=8，
∴${S}_{△{B}_{1}DF}$=6×9-$\frac{1}{2}×1×3$-$\frac{1}{2}×3×9$-$\frac{1}{2}×6×8$=15，
∵D为BC的中点，AB=AC=5，BC=6，
∴AD=4，
∵AD⊥平面BCC₁B₁，
∴三棱锥B₁-ADF的体积=三棱锥A-B₁DF的体积=$\frac{1}{3}×15×4$=20．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是个中档题．