Question

13．已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax²（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，若对任意λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＜（m+ln3）a-2ln3恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=0时，对f（x）求导，判断单调性求极值；
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，使不等式恒成立即求f（x）的最值，转化为f（λ₁）-f（λ₂）|_max＜（m+ln3）a-2ln3，然后求m 范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意，${h^'}（x）=\frac{1}{x}+2ax$，所以$f（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$，其定义域为（0，+∞）
当a=0时，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，${f^'}（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}$
令f′（x）=0，解得：$x=\frac{1}{2}$，当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，当$x＞\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0
所以当 $x=\frac{1}{2}$时，f（x）有极小值$f（\frac{1}{2}）=2-ln2$，无极大值．
（Ⅱ） ${f^'}（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2a{x^2}+（2-a）x-1}}{x^2}=\frac{{a（2x-1）（x+\frac{1}{a}）}}{x^2}$，x＞0
当-3＜a＜-2时，$\frac{1}{3}＜-\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$，故当x∈[1，3]时，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，3]
单调递减，此时 f（x）_max=f（1）=2a+1，$f{（x）_{min}}=f（3）=（2-a）ln3+\frac{1}{3}+6a$
$|f（{λ_1}）-f（{λ_2}）{|_{max}}=f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3-2ln3+\frac{1}{3}+6a]$=$\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$
依题意，只需（m+ln3）a-2ln3＞$\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$
即：$ma＞\frac{2}{3}-4a$$⇒m＜\frac{2}{3a}-4$
而当-3＜a＜-2，$⇒-\frac{13}{3}＜\frac{2}{3a}-4＜-\frac{38}{9}$
$⇒m＜-\frac{13}{3}$．

点评 本题考查了利用导数求函数的极值以及恒成立问题求参数范围；属于中档题．