Question

18．已知函数f（x）=x-ax²-lnx（a＞0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；
（2）表示出f（x₁）+f（x₂）=lna+$\frac{1}{4a}$+ln2+1，通过求导进行证明．

解答 解：（1）∵f′（x）=-$\frac{2{ax}^{2}-x+1}{x}$，（x＞0，a＞0），
不妨设φ（x）=2ax²-x+1（x＞0，a＞0），
则关于x的方程2ax²-x+1=0的判别式△=1-8a，
当a≥$\frac{1}{8}$时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当0＜a＜$\frac{1}{8}$时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，则当x∈（0，x₁）及x∈（x₂，+∞）时f′（x）＜0，
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）递减，在（x₁，x₂）递增；
（2）由（1）知当且仅当a∈（0，$\frac{1}{8}$）时f（x）有极小值x₁ 和极大值x₂，
且x₁，x₂是方程的两个正根，则x₁+x₂=$\frac{1}{2a}$，x₁ x₂=$\frac{1}{2a}$，
∴f（x₁）+f（x₂）=（x₁+x₂）-a[（x1+x2）2-2x₁ x₂]-（lnx₁+lnx₂）
=ln（2a）+$\frac{1}{4a}$+1=lna+$\frac{1}{4a}$+ln2+1（0＜a＜$\frac{1}{8}$），
令g（a）=lna+$\frac{1}{4a}$+ln2+1，
当a∈（0，$\frac{1}{8}$）时，g′（a）=$\frac{4a-1}{{4a}^{2}}$＜0，
∴g（a）在（0，$\frac{1}{8}$）内单调递减，
故g（a）＞g（$\frac{1}{8}$）=3-2ln2，
∴f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

点评 本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．