Question

8．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆的方程是x²+y²=a²+b²，过圆上任一点P作椭圆C的两条切线l₁与l₂，求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：a=2，b=c，a²+b²=c²，解出即可得出．
（2）设P（x₀，y₀），若过点P的切线斜率都存在，设其方程为y-y₀=k（x-x₀），与椭圆方程联立化为：$（1+2{k^2}）{x^2}+4k（{y_0}-k{x_0}）x+2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-4=0$，
根据直线与椭圆相切，可得△=0，利用根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．若过点P的切线有一条斜率不存在，容易得出．

解答 解：（1）a=2，b=c，a²+b²=c²，
∴b²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）设P（x₀，y₀），若过点P的切线斜率都存在，设其方程为y-y₀=k（x-x₀），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y-{y_0}=k（x-{x_0}）}\\{{x^2}+2{y^2}=4}\end{array}}\right.$得，$（1+2{k^2}）{x^2}+4k（{y_0}-k{x_0}）x+2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-4=0$，
∵直线与椭圆相切，∴△=0，${[4k（{y_0}-k{x_0}）]^2}-4（1+2{k^2}）[2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-4]=0$，
整理得$（4-x_0^2）{k^2}+2{x_0}{y_0}k+2-y_0^2=0$，
∵椭圆C的两条切线的斜率分别为k₁，k₂，由韦达定理，${k_1}•{k_2}=\frac{2-y_0^2}{4-x_0^2}$，
∵点P在圆O上，∴$x_0^2+y_0^2=6$，即$y_0^2=6-x_0^2$，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{2-y_0^2}{4-x_0^2}=\frac{2-（6-x_0^2）}{4-x_0^2}=\frac{-4+x_0^2}{4-x_0^2}=-1$，
∴l₁⊥l₂，
特别的，若过点P的切线有一条斜率不存在，不妨设该直线为l₁，
则l₁的方程为x=±2，l₂的方程为$y=±\sqrt{2}$，∴l₁⊥l₂，
综上，对任意满足题设的点P，都有l₁⊥l₂．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、直线与椭圆相切的性质、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．