Question

如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．

（I）证明：；

（II）求的长，并求点到平面的距离．

Answer 1

本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。

（Ⅰ）证明：连结CD，

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱。

∴CC₁⊥平面ABC，

∴CD为C₁D在平面ABC内的射影，

∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。

∴AB⊥CD，

∴AB⊥C₁D，

∵A₁B₁∥AB，

∴A₁B₁⊥C₁D。

（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.

∵D、E分别为AB、BC的中点。

∴DE∥AC。

又∵AF∥CE，CE⊥AC，

∴AF⊥DE。

∵MA⊥平面ABC，

∴AF为MF在平面ABC内的射影。

∴MF⊥DE，

∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。

在Rt△MAF中，AF＝,

∴AM=.    

作AG⊥MF，垂足为G。

∵MF⊥DE,AF⊥DE,

∴DE⊥平面AMF,

∴平面MDE⊥平面AMF.

∴AG⊥平面MDE

在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF=,

∴AG=,即A到平面MDE的距离为。

∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE,

∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为。

解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF，

∵D、E分别为AB、CB的中点，

∴DE∥AC,

又∵AF∥CE,CE⊥AC,

∴AF⊥DE,

∵MA⊥平面ABC,

∴AF为MF在平面ABC内的射影，

∴MF⊥DE,

∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。

在Rt△MAF中，AF=BC=,

∴AM=.

设C到平面MDE的距离为h。

∵,

∴,

,

,

，

∴h=，即C到平面MDE的距离为。