Question

设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆

的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；

（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．

Answer 1

（1）圆的方程为， 直线与圆O相切，

，即，又， ，

， 椭圆的方程为；                         

（2）由题意，可得，                 

圆的半径，，         

         的面积为；                

（3）由题意可知，

的斜率为，直线的方程为，

由，得，

其中，，，      

则直线的方程为，

令，则， 即，     

直线的方程为，

由，解得，，  

的斜率 ，

（定值）．