Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

），左，右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF₂|+|AF₂|的最大值是5，则a的值是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF₂|+|AF₂|=2a-|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值3代入|BF₂|+|AF₂|=4a-|AB|，由|BF₂|+|AF₂|的最大值等于5列式求a的值．

解答： 解：由题意，焦点在x轴上，
∵过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF₂|+|AF₂|+|BF₁|+|AF₁|=2a+2a=4a，
∴|BF₂|+|AF₂|=4a-|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF₂|+|AF₂|值最大，
∵AB垂直x轴时，AB为通径，
∴|AB|=

2b2

a

=

6

a

，∴5=4a-

6

a

，
∵a＞

3

，
∴a=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的长最短，是中档题．