Question

已知椭圆T：

x2

4

+

y2

3

=1，A、B为椭圆T的左、右顶点，P为椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB交直线x=6于M、N两点，则线段MN的最小值是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设P（s，t），由已知条件推导出M（6，

8

s+2

t），N（6，

4

s-2

t），|MN|=|

8

s+2

t-

4

s-2

t|=|

4t(s-6)

s2-4

|，又P（s，t）在椭圆上，得到|MN|²=

12(s-6)2

4-s2

，设W=

12(s-6)2

4-s2

，则（12+W）s²-144s+432-4W=0，由此利用根的判别式能求出线段MN的最小值是4

6

．

解答： 解：∵椭圆T：

x2

4

+

y2

3

=1，A、B为椭圆T的左、右顶点，
∴A（-2，0），B（2，0），
设P（s，t），由题意直线PA的方程为

y

x+2

=

t

s+2

，直线PB的方程为

y

x-2

=

t

s-2

由于椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，∴a=2，b=

3

，c=1，
∴F到直线x=6的距离是5，
∵直线AP、BP分别交直线x=6于M、N点
∴M（6，

8

s+2

t），N（6，

4

s-2

t），
故有|MN|=|

8

s+2

t-

4

s-2

t|=|

4t(s-6)

s2-4

|，
又P（s，t）在椭圆上，故有t²=3-

3s2

4

，
∴|MN|²=

16(3- 3 4 s2)(s-6)2

(s2-4)2

=

(48-12s2)(s-6)2

(s2-4)2

=

12(s-6)2

4-s2

，
设W=

12(s-6)2

4-s2

，则（12+W）s²-144s+432-4W=0，
∵此方程有解，
∴△=144²-4（12+W）（432-4W）≥0，
解得W≥96，或W≤0（舍），
∴|MN|²≥96，解得|MN|≥4

6

．
∴线段MN的最小值是4

6

．

点评：本题考查与椭圆相关的线段的最小值的求法，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质，注意直线方程、根的判别式和等知识点的灵活运用．