Question

已知定点A（-1，

3

），动点P按逆时针方向沿着单位圆从P₀（1，0）处开始运动（t=0秒），且每秒运动的弧长为

π

5

弧度，在t秒内（t＞0）到达点P．记函数f（t）=

OA

•

OP

，向量

OQ

=

OA

+

OP

，关于f（t）有以下结论：
①f（t）=-

3

sin

π

5

t+cos

π

5

t；②f（t）=2sin（

π

5

t-

π

6

）；③Q点的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆；
④当f（t）第一次取得最大值时，需要的时间是t=

3

10

秒；⑤1≤|

OQ

|≤3
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据数量积之间的关系求出函数f（t）的表达式，然后根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．

解答： 解：动点P按逆时针方向沿着单位圆从P₀（1，0）处开始运动（t=0秒），且每秒运动的弧长为

π

5

弧度，
∴P点的坐标为（cos

π

5

t，sin

π

5

t），

OA

=（-1，

3

），

OP

=（cos

π

5

t，sin

π

5

t），
∴f（t）=

OA

•

OP

=-cos

π

5

t+

3

sin

π

5

t=2sin（

π

5

t-

π

6

），
∴①错误，②正确，
∵

OQ

=

OA

+

OP

=（-1+cos

π

5

t，

3

+sin

π

5

t）
∴设Q（x，y），
则x=-1+cos

π

5

t，y=

3

+sin

π

5

t，消去参数得（x+1）²+（y-

3

）²=1，
∴Q点的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
∴③正确．
由

π

5

t-

π

6

=

π

2

，解得t=

10

3

，∴④错误．
∵

OQ

2=（-1+cos

π

5

t）²+（

3

+sin

π

5

t）²=5+4sin（

π

5

t-

π

6

），
∴1≤5+4sin（

π

5

t-

π

6

）≤9，
∴1≤

OQ

2≤9，
即1≤|

OQ

|≤3，∴⑤正确．
故答案为：②③⑤

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用向量数量积之间的关系求出函数的表达式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．