Question

如图，在60°的二面角α-l-β内取点A，在半平面α，β中分别任取点B，C．若A到棱l的距离为d，则△ABC的周长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：作A关于平面α和β的对称点M和N，连接MN，AM交平面α于D，AN交平面β于E，连接DE，△ABC周长L=AB+AC+BC=BM+CN+BC．由两点之间线段最短可以得出要使△PBC周长最小，M、B、C、N在一条直线上．△ABC周长L=MN=2DE．由此能求出△ABC周长的最小值．

解答： 解：作A关于平面α和β的对称点M和N，
连接MN，AM交平面α于D，AN交平面β于E，连接DE，
△ABC周长L=AB+AC+BC=BM+CN+BC
由两点之间线段最短可以得出要使△PBC周长最小，
M、B、C、N在一条直线上．
△ABC周长L=MN=2DE
把三角形ADE另作一图，作A关于DO的对称点D′，
A关于EO的对称点E′，
连接D′O，E′O，D′D，E′E，D′E′，
∵二面角α-l-β的大小为60°，
∴∠DOE=60°，
∴∠D′OE′=120°
D′E′=2DE
∵AO=d
∴D′O=E′O=d
∴D′E′=

3

d，
△ABC周长的最小值L_min=MN=2DE=D′E′=

3

d．
故答案为：

3

d．

点评：本题考查三角形周长的最小值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和数形结合思想的合理运用．