Question

13．S_n表示数列{a_n}（n≥1）的前n项和，已知a₁=1，且?n≥1，S_n+1=4a_n+2，则a₂₀₁₃等于（　　）

• A． 3019•2²⁰¹²
• B． 3019•2²⁰¹³
• C． 3018•2²⁰¹²
• D． 以上答案均不对

Answer 1

分析 S_n+1=4a_n+2，a₁=1，可得a₂=5，S_n=4a_n-1+2，可得：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），利用等比数列的通项公式可得：a_n-2a_n-1=3×2^n-2，（n≥2）．
变形为$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{4}$，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n+1=4a_n+2，a₁=1，
∴a₂=5，S_n=4a_n-1+2，
可得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，
变形为：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴数列{a_n-2a_n-1}是等比数列，首项为3，公比为2．
∴a_n-2a_n-1=3×2^n-2，（n≥2）．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{4}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}（n-1）$=$\frac{3n-1}{4}$，
∴a_n=（3n-1）×2^n-2．
∴a₂₀₁₃=3019×2²⁰¹²．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列与等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．