Question

若不等式x²-2y²≤cx（y-x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：不等式x²-2y²≤cx（y-x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，变形为c≤

x2-2y2

xy-x2

=

( x y )2-2

x y -( x y )2

，令

x

y

=t＞1，可得c≤

t2-2

t-t2

=f（t），利用导数研究函数f（t）的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：∵不等式x²-2y²≤cx（y-x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，
∴c≤

x2-2y2

xy-x2

=

( x y )2-2

x y -( x y )2

，
令

x

y

=t＞1，
∴c≤

t2-2

t-t2

=f（t），
f′（t）=

t2-4t+2

(t-t2)2

=

(t-2- 2 )(t-2+ 2 )

(t-t2)2

，
当t＞2+

2

时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜2+

2

时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．
∴当t=2+

2

时，f（t）取得最小值，f(2+

2

)=2

2

-4．
∴实数c的最大值为2

2

-4．
故答案为：2

2

-4．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．