Question

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点.问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）T（0，1）

（Ⅰ）由
因直线相切，，∴，
……2分
∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，∴                                   …… 4分
故所求椭圆方程为                            ……5分
（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：  
由
即两圆公共点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）                ……8分
（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：
由
记点、           ……10分

 
           
∴TA⊥TB,
综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）.            ……12分