Question

已知函数
（1）求函数在上的最大值与最小值；
（2）若时，函数的图像恒在直线上方，求实数的取值范围；
（3）证明：当时，．

Answer 1

（1）；（2）实数取值范围是 ；(3)证明过程见解析.

解析试题分析：（1）求导函数，判断的单调性，可求得最值；（2）将图象问题转化为不等式在恒成立的问题，进而变为恒成立，即求的取值范围的问题，可得取值范围是；（3）利用，令转化为，累加即可.
试题解析：
解：（1）定义域为，且，          1分
当时，，当时，
在为为减函数；在上为增函数，3分
            4分
               5分
（2）当时，函数的图像恒在直线的上方，等价于时不等式恒成立，即恒成立，     6分
令，则，当时，，故在上递增，所以时，，      9分
故满足条件的实数取值范围是          10分
（3）证明：由（2）知当时，     11分
令，则，化简得      13分

  

即             14分
考点：利用导数求函数的最值，转化与化归的数学思想，构造法.