已知数列
的前
项和为
，且
，对任意
，都有
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列
满足
，求数列的前项和
.
（1）
；（2）
.
解析试题分析：（1）解法1是在
的条件下，由
得到
，将两式相减得
，经化简得
，从而得出数列为等差数列，然后利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式；解法2是利用
代入递推式得到
，经过化简得到
，在两边同时除以
得到
，从而得到数列
为等差数列，先求出数列的通项公式，进而求出的表达式，然后利用与
之间的关系求出数列的通项公式；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数
以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和
视为函数列
的前项和在
处的导数值，从而求出.
试题解析：（1）解法1：当时，，，
两式相减得
，
即，得.当
时，
，即
.
数列是以为首项，公差为
的等差数列.
.
解法2：由，得，
整理得，
，两边同除以得，.数列是以
为首项，公差为
的等差数列.
.
.
当时，
.
又适合上式，数列的通项公式为；
（2）解法1：由（1）得
.
，
.
，①
，②
①
②得
.
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
（
）
（1）若方程
有3个不同的根，求实数
的取值范围；
（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得
在
上恰有两个极值点
，且满足
，若存在，求实数的值，若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
(
,
为自然对数的底数).
(1)若曲线
在点
处的切线平行于
轴,求
的值；
(2)求函数
的极值；
(3)当
的值时,若直线
与曲线没有公共点,求
的最大值.
(注：可能会用到的导数公式：
；
）
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在
处的切线的斜率；
，求函数
在
上的最大值.
，
．
，讨论
在
内的单调性并求极值；
时，恒有
．
，
.
，使得
，求a的取值范围；
有两个不同的实数解
，证明：
.
，求曲线
在
处的切线方程；
的单调区间；
，若对任意
，均存在
，使得
，求
的取值范围.
在
上的最大值与最小值；
时，函数
的图像恒在直线
上方，求实数
的取值范围；
时，
．
.
）处的切线方程；
使得
，求
的取值范围.