Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N．

(1)求证：直线MN必过定点，并写出此定点的坐标；

(2)分别以AN和CD为直径作圆，求两圆公共弦中点H的轨迹方程．

Answer 1

答案：(1)设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，F(1，0)．联立直线AB与抛物线的方程解得M()，将k换成得N(2k²+1，-2k)，由两点式得直线MN的方程为(1-k²)y=k(x-3)，则直线MN过定点T(3，0)．

(2)由抛物线的性质知，以AB、CD为直径的圆肘、圆N的半径分别为x_M+1，x_N+1，得圆M、圆N的方程分别为：

(x-x_M)²+(y-y_M)²=(x_M+1)²，

(x-x_N)²+(y-y_N)²=(x_N+1)²．

两式相减得公共弦所在直线方程为

(x_M-x_N)x+(y_M-y_N)y=()-(x_M-x_N)=(-4k²)-(-2k²)=0，

则公共弦过原点0，所以∠OHT=90°．

于是点H的轨迹是以DT为直径的圆(除去直径的两个端点)，其轨迹方程为(x)²+y²= (y≠0)．