Question

对于数列{a_n}，如果对任意正整数n，总有不等式：

an+an+2

2

≤a_n+1成立，则称数列{a_n}为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{a_n}满足如下两个条件：
（1）数列{a_n}为上凸数列，且a₁=1，a₁₀=28；
（2）对正整数n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中b=n²-6n+10．
则数列{a_n}中的第五项a₅的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：压轴题,转化思想,等差数列与等比数列

分析：

an+an+2

2

≤a_n+1，

an+2-an+1

n+2-n-1

≤

an+1-an

n+1-n

，a₅≥13，
（1）在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，令n=5⇒-15≤a₅≤25，
（2）（1）、（2）联立能得到第五项a₅的取值范围．

解答： 解：（1）∵

an+an+2

2

≤a_n+1，

an+2-an+1

n+2-n-1

≤

an+1-an

n+1-n

，

a10-a1

10-1

≤

a5-a1

5-1

，
把a₁=1，a₁₀=28代入得a₅≥13，
在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，
令n=5，得b₅=25-30+10=5，①
∴-20≤a₅-b₅≤20，
∴-15≤a₅≤25，②
（2）①②联立得13≤a₅≤25．
故答案为：[13，25]

点评：本题具有一定的难度，解题时要注意公式的合理转化．