Question

【题目】平面直角坐标系中，在x轴的上方作半径为1的圆Γ，与x轴相切于坐标原点O．平行于x轴的直线l1与y轴交点的纵坐标为-1，A（x，y）是圆Γ外一动点，A与圆Γ上的点的最小距离比A到l1的距离小1．

（Ⅰ）求动点A的轨迹方程；

（Ⅱ）设l2是圆Γ平行于x轴的切线，试探究在y轴上是否存在一定点B，使得以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．

Answer 1

【答案】（I）；（II）存在满足题意.

【解析】

（Ⅰ）由题意，圆Γ上距距离最小的点在上，于是依题意知的长度等于到的距离，即可求解；

（Ⅱ）假设存在这样的点，设其坐标为，以为直径的圆的圆心为，过作的垂线，垂足为，则点坐标为，于是，，根据弦长公式建立关系，待定系数法，即可求解的值，可得其坐标

解：（Ⅰ）设圆Γ的圆心为O1，显然圆Γ上距A距离最小的点在AO1上，

于是依题意知AO1的长度等于A到l1的距离．显然A不能在l1的下方，

若不然A到l1的距离小于AO1的长度，

故有，

即y=x2（x≠0）．

（Ⅱ）若存在这样的点B，设其坐标为（0，t），

以AB为直径的圆的圆心为C，过C作l2的垂线，垂足为D．

则C点坐标为（），于是CD=，

AB=

设所截弦长为l，

则=CD2=

于是l2=（12-4t）y+8t-16，

弦长不变即l不随y的变化而变化，

故12-4t=0，即t=3．

即存在点B（0，3），满足以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．