Question

已知等比数列{a_n}的项a₃，a₅是方程2x²+11x+10=0的两个根，则a₁²+a₇²=

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件得到a₃a₅=

10

2

=5，a3+a5=-

11

2

，设a1=

a4

q3

，a3=

a4

q

，a5=a4q，a7=a4q 3，推导出q2+

1

q2

=

121

20

-2=

81

20

，由此能求出a₁²+a₇²的值．

解答： 解：∵等比数列{a_n}的项a₃，a₅是方程2x²+11x+10=0的两个根，
∴a₃a₅=

10

2

=5，a3+a5=-

11

2

，
∵a1=

a4

q3

，a3=

a4

q

，a5=a4q，a7=a4q 3，
a42=5，

a4

q

+a4q=a4(q+

1

q

)=-

11

2

，
∴q+

1

q

=-

11

2a4

，∴(q+

1

q

)2=q2+

1

q2

+2=

121

120

，
∴q2+

1

q2

=

121

20

-2=

81

20

，
∴a₁²+a₇²=(

a4

q3

)2+(a4q3)2
=a42[(

1

q2

)3+(q2)3]
=5(

1

q2

+q2)(q4+

1

q4

-1)
=5×

81

20

•[(q2+

1

q2

)2-3]
=

81

4

[(

81

2

)2-3]
=

434241

1600

．
故答案为：

434241

1600

．

点评：本题考查等比数列的性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．