Question

【题目】已知椭圆方程为： ， 椭圆的右焦点为，离心率为，直线： 与椭圆相交于、两点，且

（1）椭圆的方程及求的面积；

（2）在椭圆上是否存在一点，使为平行四边形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， （2）不存在

【解析】试题分析：（1）由题意求出c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；联立直线方程和椭圆方程，设出A，B的坐标，利用根与系数的关系求出A，B的横纵坐标的乘积，再由kOAkOB=得到k与m的关系，利用弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出坐标原点O到直线l的距离，代入三角形面积公式得答案．（2）若存在平行四边形使在椭圆上，则，得出点P的坐标， 在椭圆上，把点P坐标代入椭圆方程，化简得 ， 由，知 ,联立求得.

试题解析：

（1）由已知

椭圆方程为：

设A(，B，则, 的坐标满足

消去化简得， ，

， 得

,

.

， ，即

即,=.

O到直线的距离

,

.

（2）若存在平行四边形OAPB使在椭圆上，则，设，

则,,由于在椭圆上，所以，从而化简得

化简得 ①， 由，知 ②

联立方程①②知，故不存在在椭圆上的平行四边形.