Question

【题目】已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示，

（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的值；若不垂直请说明理由；

（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）垂直，；（2）；

【解析】

（1）利用线线垂直、线面垂直相互转化，结合勾股定理证得当时，异面直线与垂直.

（2）当四面体体积最大时，平面平面.建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）若，由,，得平面，所以，所以，即，解得.故当时，异面直线与垂直.

（2）当当四面体体积最大时，平面平面.过作交于，根据面面垂直的性质定理可知平面.以为空间坐标原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,.平面的法向量为.设平面的法向量为，，则，取.设二面角的平面角为，由图可知为锐角，所以.