Question

7．若函数f（x）=e^ax+3x有大于零的极值点，则 a的取值范围是（-∞，-3）．

Answer 1

分析 根据题意，问题可以转化为f′（x）=3+ae^ax=0有正根，通过讨论此方程根为正根，求得参数的取值范围．

解答 解：设f（x）=e^ax+3x，则f′（x）=3+ae^ax，
∵函数在x∈R上有大于零的极值点，
∴f′（x）=3+ae^ax=0有正根，
①当a≥0时，f′（x）=3+ae^ax＞0，
∴f′（x）=3+ae^ax=0无实数根，
∴函数y=e^ax+3x，x∈R无极值点；
②当a＜0时，由f′（x）=3+ae^ax=0，解得x=$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$），
当x＞$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）时，f′（x）＞0，当x＜$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）时，f′（x）＜0，
∴x=$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）为函数的极值点，
∴$\frac{1}{a}$ln（-$\frac{3}{a}$）＞0，解得a＜-3，
∴实数a的取值范围是a＜-3．
故答案为：（-∞，-3）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的极值，解题时要注意极值点即为导函数等于0的根，从而可以讲问题转化为根的存在性问题进行解决．属于中档题．